PAU 2025 Comunidad de Madrid. Mi solución examen extraordinario coincidentes Dibujo Técnico II

     Para acompañar el post anterior, voy a comentar las soluciones al examen de Dibujo Técnico II de la Comunidad de Madrid, celebrado en Julio del año 2025, el examen de coincidentes (para aquellos candidatos que le coincide el examen de Dibujo Técnico II con otra asignatura). 

    En los apartados estas las preguntas del examen, de las cuales, el alumno, sólo escogerá una de cada.

PREGUNTA 1: GEOMETRÍA PLANA

1.1.

    Vienen dibujadas dos circunferencias y un punto P en una de ellas. Se pide: dibujar las circunferencias tangentes a las dadas que pasen por el punto P.

   Se puede resolver por dilatación, potencia e inversión. 

    Dilatación: primera solución. La circunferencia pequeña se reduce a un punto, y la otra ampliamos y reducimos su radio el valor del radio de la pequeña. Hemos cambiado el ejercicio al caso de circunferencia tangente a una circunferencia dado el punto de tangencia y que pasa por un punto exterior, en este caso el punto es el centro O. En las mediatrices estarán los centros de la circunferencia solución, dibujamos las soluciones deshaciendo la dilatación.

    Potencia: segunda solución que aparece en la imagen. Hallamos el eje radical. Hallamos el centro radical de las circunferencias tangentes a la circunferencia grande en P y la otra circunferencia dato. Después, hallamos las rectas tangentes a la circunferencia pequeña que pasan por el centro radical y señalamos sus puntos de tangencia. Unimos los centros con los puntos de tangencia y donde corten con la línea de centros serán los centros de la circunferencia solución.

    Inversión: tercera solución de la imagen. Suponemos que una circunferencia se transforma en la otra en una inversión positiva de centro I+ (color azul) y en una inversión negativa I- (color magenta). Hallamos los inversos de P para ambas inversiones, estos puntos inversos serán los puntos de tangencia de las circunferencias solución. Hallamos los centros y trazamos la solución.

1.2.

    Como datos tenemos los ejes de una elipse, AB y CD, y una recta r. Se pide dibujar los puntos de intersección de la recta con la elipse, sin dibujar la elipse.

    La primera opción ha sido resolverlo por afinidad (primera imagen). Esta afinidad es ortogonal, el eje es AB, y las figuras afines son la elipse y su circunferencia principal. He hallado la recta afin de r, r', y la intersección de la recta r' con la circunferencia principal, los puntos I' y J'. Los afines de estos puntos serán los puntos de entrada y de salida de la recta, los puntos I y J.

    La segunda opción es resolviendo el problema por tangencias, el caso de Apolonio circunferencia y dos puntos CPP. Usando la potencia de manera que los elementos de este caso son: la circunferencia es la circunferencia focal de un foco, los puntos serán el otro foco y su simétrico respecto de la recta r. Resolvemos el problema, y los centros de las circunferencias tangentes son los puntos de entrada y salida de la recta, los puntos I y J.

PREGUNTA 2: SISTEMA DIÉDRICO

2.1.

    Dados un punto P y un plano ABCD, tenemos que hallar el simétrico de P respecto al plano dado. 

    Para resolverlo hemos hecho un cambio de plano. He transformado el plano ABCD en un plano de canto o proyectante vertical. He dibujado la perpendicular al plano por el punto P, hallado la intersección de esta perpendicular con el plano, el punto I, y por último duplicado la distancia PI hacia el otro lado del plano, con el fin de poder dibujar su simétrico Ps. 

    También se podría haber resuelto por métodos relacionados con las distancias. 

2.2.

    Nos piden hallar la intersección de la recta r con la pirámide. Para hallarla he trazado por la recta r un plano vertical o plano proyectante horizontal. Este plano ha generado la sección plana 123. Los puntos en común de esta sección plana con la recta son los puntos de entrada y salida, los puntos I y J.

    La dificultad en este ejercicio estaba en la intersección de las aristas de perfil de la pirámide con el plano. Para poder hallar la intersección de esta arista, el punto 3, he dibujado un cambio de plano (color azul).

    Para terminar el dibujo definimos las partes vistas y ocultas de la recta.

PREGUNTA 3: SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

3.1.

    Dadas las vistas, alzado y perfil, de una pieza, se pide dibujar su volumen en dibujo isométrico. Cuando mencionan dibujo, nos quieren indicar que no tengamos en cuenta el coeficiente de reducción. Por lo tanto, podemos medir directamente en las vistas y colocar estas medidas directamente en los ejes coordenados o en las paralelas a estos ejes coordenados.

    Se ha dejado el cubo de proyección (color azul), para poder entender mejor su volumen. Se debe respetar la posición de las vistas respecto a los ejes.

3.2.

    Partiendo de la planta y el alzado de una pieza, se pide dibujar la perspectiva caballera de la misma, sabiendo: la posición de los ejes, que no hay coeficiente de reducción en el eje y y que hay que omitir las líneas ocultas. 

PREGUNTA 4: NORMALIZACIÓN

4.1.

    Tenemos dibujadas la planta y el perfil izquierdo de una pieza. Se pide hallar el alzado con el corte que consideremos y se pide acotar las vistas para su correcta definición dimensional.

    En el alzado se ha hecho un corte por el plano de simetría. Cómo dicho plano es evidente, no se indicará en ninguna de las vistas. 

    Para acotar la pieza, hemos incluido el diámetro de 16, por que aunque los dos agujeros tengan el mismo diámetro, son agujeros independientes. Las demás partes se han acotado por simetría.

4.2.

    Partiendo del dibujo isométrico (un avez más, sin tener en cuenta el coeficiente de reducción) de un portarrollos de papel de cocina, nos piden: dibujar las vistas necesarias para poder definir la pieza y acotarlas según norma ISO y UNE. 

    Como vistas se necesitan dos, el alzado y la planta son las que mejor la definen. Y para acotarla, señalaré  el uso de la simetría de la plana y el posicionamiento de las curvas en alzado. 

    Con este post completo los comentarios sobre mis soluciones de los exámenes de la PAU 2025 de la Comunidad de Madrid de Dibujo Técnico II.

PAU 2025 Comunidad de Madrid. Mi solución examen extraordinario Dibujo Técnico II

     Comento como se podría haber solucionado el examen de Dibujo Técnico II de la PAU 2025 (Pruebas de Acceso a la Universidad) de la Comunidad de Madrid, en su convocatoria extraordinaria de Julio.

    Vamos a distribuirlo por preguntas. Decir que cada una vale 2,5 puntos, y de los dos apartados, solamente había que escoger uno.

PREGUNTA 1: GEOMETRÍA PLANA

1.1.

    Nos dan una figura formada por un segmento y tres arcos de circunferencia. Nos señalan tres puntos en esta figura A,B y C, siendo A un punto doble, y otro cuarto punto, separada de ella, el punto O, que es el centro de inversión. Se pide hallar la figura inversa.

    He dibujado la circunferencia de puntos dobles (cpd) en color verde. Después, he hallado la recta BC, que al no pasar por el centro de inversión se transforma en una circunferencia que si pasa por el centro de inversión (color magenta). El arco ABC será una recta que pasa por A', siendo A un punto doble. Por último, los arcos de circunferencia AB y AC, se transformarán en arcos de circunferencias que se encuentra en la misma circunferencia, como se puede ver en la imagen.

    Se marca la solución. No se ha rallado la figura solución para facilitar la visualización.

1.2.

    Vienen dibujados los ejes de una elipse , AB y CD, y una recta r. Nos piden trazar las rectas tangentes a la curva (cónica), de manera que sean paralelas a r e indicar los puntos de tangencia.

    Se ha utilizado la herramienta de afinidad. Recordamos la afinidad entre la elipse y la circunferencia principal, en donde, la dirección de afinidad es ortogonal y el eje es el eje mayor, AB.

    También se podría haber resuelto usando la circunferencia focal de uno de los focos. O la circunferencia principal, pero esta vez usada como lugar geométrico de los pies de las perpendiculares.

PREGUNTA 2: SISTEMA DIÉDRICO

2.1.

    Como datos, vienen dibujados una recta r y un espejo (cuya figura geométrica sería un plano) dado por cuatro de sus puntos, ABCD. Nos piden representar la trayectoria que haría un rayo láser que sigue a la recta r y se refleja en el espejo ABCD.

    Para calcularlo. debemos hallar la intersección de la recta r con el plano-espejo (color verde). Después hallaremos la simétrica de r respecto a dicho plano-espejo, usando el punto R (color azul). La prolongación de la recta simétrica de r, la recta r', será la continuación de la trayectoria de r cuando se refleja en el plano ABCD.

2.2.

    A partir de un pentágono dibujado sobre el plano horizontal de proyección, debemos dibujar un prisma recto regular de altura 45 mm  (color verde). Nos piden dibujar la sección plana que produce el plano dado por tres puntos A, B y C.

    Para dibujar el prisma tendremos en cuenta: en proyección horizontal por ser un prisma recto, ambas bases (superior e inferior) coinciden en el mismo pentágono; y que  en proyección vertical, los vértices de la base de la base inferior están sobre la línea de tierra y los de la base superior a una cota de 45 mm (color verde).

    Vemos que B y C es un segmento que está sobre el plano horizontal de proyección, lo que indica que es un segmento de la traza horizontal del plano. He hallado las rectas frontales del plano para poder hallar la sección plana (color azul). Con las rectas frontales descubro que el prisma es cortado por su base superior. He hallado la traza vertical del plano para poder hallar la intersección de la base superior con el plano alfa (color magenta).

PREGUNTA 3: SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

3.1.

    Dada una pieza por sus dos vistas (planta y alzado), se pide representar el dibujo isométrico (sin usar el coeficiente de reducción) de la misma.

    He inscrito la pieza en un cubo, por tener las tres dimensiones principales del sólido iguales (x, y, z). Para una mejor compresión del volumen, he optado por dejar el cubo (color verde).

3.2.

    Nos dan la planta y el alzado de un edificio. Tenemos que trazar su cubierta sabiendo que los faldones tienen una pendiente de 30º. 

    Esta cubierta no presentaba ninguna dificultad adicional. Se podía resolver perfectamente a través de bisectrices y mediatrices.

    En alzado, llevaremos los ángulos de 30º cuando las vertientes se encuentren sobre planos de canto o proyectante vertical. A continuación, iremos refiriendo las rectas horizontales con los vértices resultantes de la cubierta hallados en la planta.

PREGUNTA 4: NORMALIZACIÓN

4.1.

    Nos dan una perspectiva caballera de una pieza, sabiendo que su eje "y" no está sujeto a coeficiente de reducción. Se piden las vistas mínimas y necesarias para poder definir la pieza. 

    Las vistas necesarias serán el perfil y el alzado. En verde están dibujadas las líneas que he necesitado para poder medir los distintos elementos de la pieza y así poder dibujarlos en las vistas.

    Cómo acotación, hemos indicado las distancias entre ejes, profundidades y repetido los diámetros de las circunferencias por no estár sobre planos de simetría, a pesar de que sean las mismas. Uno de los radios de 8 es redundante, el otro hay que indicarlo, puesto que el centro no coincide con ningún otro eje de las otras circunferenicas.

4.2.

    A partir de dos vistas de una pieza, la planta y el alzado, había que hallar en el perfil, el corte por el plano de simetría AA. 

    Una vez hallado el corte, debíamos acotar la pieza. He puesto las cotas interiores en el corte y distribuido las que dimensionan los distintos cortes que se realizan a ese cilindro por las demás vistas.

    Esta es mi propuesta para poder solucionar al examen de Dibujo Técnico II de la PAU del año 2025 de la convocatoria de Julio o extraordinaria de la Comunidad de Madrid. 

Mis soluciones al examen de Dibujo Técnico II de la Junta de Andalucía, convocatoria ordinaria suplente 2 del año 2025

     En este post voy a comentar cómo resolvería el examen de Dibujo Técnico II de la PAU 2025 de Andalucía (convocatoria ordinaria suplente 2).

    Como siempre lo estructuramos según los ejercicios que nos proponen para poder llevar a cabo con éxito este examen de Dibujo Técnico II.

EJERCICIO 1: TRAZADOS GEOMÉTRICOS

    En este primer ejercicio nos daban dibujados una circunferencia de centro O y dos puntos A y B. Nos piden hallar el centro radical de las infinitas circunferencias que pasan por A y B y la circunferencia dada.

    Para determinar el centro radical aplicamos los conceptos de potencia. El eje radical de las infinitas circunferencias que pasan por los puntos A y B (no dibujadas) es la recta que une los puntos A y B. Los centros de estas circunferencias estarán en la mediatriz de AB. Para hallar el centro radical he dibujado una circunferencia auxiliar que corte a la dada. He unido los puntos de corte de la circunferencia dato y la circunferencia auxiliar. Dónde corte esta recta con el eje radical, estará el centro radical (colores verde y azul).

    Podemos aprovechar este primer apartado para hacer el segundo: hallar las circunferencias tangentes. Para ello, he hallado las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por el centro radical. Los puntos de tangencia de estas circunferencias nos darán los puntos T y T'. Al con unir estos puntos de tangencia con el centro de la circunferencia dada, hasta que corte con la línea de centros nos indicará los centros de las circunferencias solución, O y O' (color magenta). Dibujamos las circunferencias solución (color rojo).

EJERCICIO 2: SISTEMA DIÉDRICO

    Nos dan un plano P y la proyección horizontal de la diagonal AC de un cuadrado apoyado sobre el plano horizontal de proyección. Tenemos que hallar el hexaedro o cubo cuya base es el cuadrado anteriormente mencionado y que se encuentra en el primer diedro de proyección. Después tenemos que hallar la sección plana que produce el plano P en el hexaedro y la verdadera magnitud. Por último, nos piden que indiquemos cómo se llama el plano P.

    Para hacer el hexaedro, hemos hallado la base que es el cuadrado de diagonal AC, el cuadrado ABCD (color verde). Cómo está sobre el plano de proyección, está en verdadera magnitud. He levantado alturas, cuya cota es igual al valor del lado del cuadrado (color azul). 

    La sección que produce el plano P en el cubo es una sección inmediata por ser P un plano de canto. Abatimos el plano para poder hallar la verdadera magnitud de la sección, 12345 (color naranja).

    En cuanto a la denominación del plano, es un plano proyectante vertical o de canto. 

EJERCICIO 3: SISTEMA AXONOMÉTRICO

    Nos dan las 3 vistas (planta, alzado y perfil) a escala 1:2, se pide dibujar la perspectiva caballera con un coeficiente de reducción de 1/2. El sistema de vistas es el sistema europeo o el del primer diedro de proyección. También, debemos indicar la magnitud C en medidas reales.

    Lo que se pide es hacer la perspectiva caballera a escala 1:1, cuando comentan que hay que aplicar el coeficiente de reducción de 1/2, se refiere al coeficiente de reducción del eje y. Sobre el plano coordenado xz dibujaremos el alzado a el doble de su medida gráfica. En cuanto a la profundidad, medidas en el eje y, las dejaremos tal cual, debido a que la escala de las vistas y la escala axonométrica del eje y se anulan entre sí. 

EJERCICIO 4: NORMALIZACIÓN

    Nos dan una pieza en perspectiva isométrica, debemos representar las dos vistas (planta y alzado) de la misma en el sistema europeo o primer diedro de representación. Las vistas están dadas a escala 1:1 y hay que dibujarlas a la misma escala, pero, como nos hablar de perspectiva isométrica, debemos des-aplicarle el coeficiente de reducción que es 0'816 (0,816/1).

    Para acabar el ejercicio, debíamos acotar las vistas según las normas ISO y normas UNE, para su correcta definición dimensional. 

    Y así acabaríamos con el examen de PAU 2025 de Dibujo Técnico II de la convocatoria ordinaria suplente 2 de Andalucía. 

Mis soluciones al examen de Dibujo Técnico II de la Junta de Andalucía, convocatoria ordinaria suplente del año 2025

     En este post voy a comentar las soluciones que yo haría para poder resolver los ejercicios que vienen propuestos en el examen de Dibujo Técnico II de la PAU (antigua selectividad o PEvAU) de la Junta de Andalucía de la convocatoria ordinaria del año 2025.  En concreto el examen suplente.

    Voy a distribuir los comentarios por ejercicios.

EJERCICIO 1: TRAZADOS GEOMÉTRICOS

    En este ejercicio nos daban dibujados una circunferencia de centro O, una recta R y un punto T en la circunferencia. Había que hallar la circunferencia tangente a la circunferencia y a la recta dadas que pase por el punto T (punto de tangencia).

    He aplicado los conceptos de potencia para resolverlo. 

    Como también teníamos que hallar eje radical de las circunferencias tangentes a la circunferencia dato en el punto T, lo hemos usado para poder hallar el centro radical de todas estas circunferencias (no dibujadas) y la recta. El centro radical nos define el segmento de tangencia, y con esta distancia podemos dibujar el punto de tangencia en la recta. Una vez hallado este punto, trazamos perpendicular a la recta hasta que corte la la línea de centros (línea que une T con O).

EJERCICIO 2: SISTEMA DIÉDRICO

    Nos dan la arista básica de una pirámide regular cuadrangular apoyada en el plano horizontal de proyección. En proyección horizontal, dibujamos la base, la base es un cuadrado y las aristas laterales sus diagonales. En proyección vertical, dibujamos los vértices de la base sobre la línea de tierra y el vértice lo elevamos a una altura o cota de 84 mm. La medida de la altura viene indicado en el enunciado.

    Al terminar la pirámide, dibujamos la intersección que produce una recta R en la misma a través de un plano vertical que pasa por esta recta. Este plano generará en la pirámide una sección plana de vértices 1234 (color magenta). Los puntos en común de la recta y la sección, son los puntos de entrada y salida de la recta. 

    Por último, estudiamos la visibilidad de ambos el sólido y la recta.

EJERCICIO 3: SISTEMA AXONOMÉTRICO

    Partiendo de las tres vistas de un objeto (planta, alzado y perfil) a escala 2:3, había que dibujar la perspectiva isométrica de la pieza a escala 1:1. El sistema que usado para las vistas es el sistema europeo o el también llamado del primer diedro de representación. 

    Teníamos que tener en cuenta los ejes dibujados y el coeficiente de reducción de la isometría, es decir, la escala 0'816:1. La medida C se calcula con la escala 2:3 (sin coeficiente de reducción).

    Para acabar el ejercicio, hacemos un estudio de visibilidad.

EJERCICIO 4: NORMALIZACIÓN

    Nos daban representados la planta y el perfil de una pieza. Nos piden, dibujar en el alzado el corte por el plano de simetría (el plano) AA. El sistema de representación usado es el sistema europeo o el también llamado del primer diedro de representación. Estas vistas vienen dibujadas a escala 1:2.

    Por la correspondencia entre vistas calculamos el alzado en corte. Una vez hecho esto, acotamos la pieza siguiendo la normas industriales ISO y UNE. La acotación es parte del ejercicio (indicado en el enunciado). Recordar que las medidas no están sujetas a escala, por ello se indica numéricamente el valor de la mitad de la medida de nuestro dibujo. 

    Hasta aquí los comentarios a mi solución de este examen suplente de la PAU de Andalucía de Dibujo Técnico II de la convocatoria ordinaria del año 2025.

Mis soluciones al examen de Dibujo Técnico II de la Junta de Andalucía, convocatoria ordinaria titular del año 2025

     Iniciamos este post para comentar mi propuesta a las soluciones de las Pruebas de Acceso a la Universidad de la Junta de Andalucía (PAU) del año 2025 de Dibujo Técnico II. En concreto,de la convocatoria ordinaria, el examen titular.

    En este examen, el alumno no podía escoger preguntas como en años anteriores (PEvAU), tenía que hacer el examen completo. Cada pregunta puntúa con 2'5 puntos. Vamos a describir los ejercicios por temáticas tal cual se organizaban en el examen.

EJERCICIO 1: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

    Venían dibujadas dos figuras triangulares, con lados paralelos y el vértice de la figura exterior era un punto doble, el punto C-C'. 

    Teníamos que dibujar la figura afín y el eje de afinidad de la misma en una homología afín ortogonal. Como la afinidad es ortogonal, bastará con trazar una recta perpendicular por el punto doble C-C' a la recta que pasa por A-A'. A-A' nos define la dirección de la afinidad. Ya con el eje trazado, procedemos a dibujar la rectas afines que pasar por A y la recta afín a la recta CD.

    Para hallar el triángulo interior, he trazado rectas paralelas a los lados del triángulo exterior por los puntos de corte con el eje de la figura interior. Esto se debe a que la afinidad conserva el paralelismo entre segmentos.

EJERCICIO 2: SISTEMA DIÉDRICO

    En el ejercicio vienen dibujadas las proyecciones horizontales de un cuadrado. una recta R y la traza horizontal de la recta R. Los vértices del cuadrado eran vértices de un octaedro cuya diagonal es vertical. Por lo tanto, este cuadrado será la sección meridiana del sólido y se encuentra sobre un plano horizontal. Las diagonales del cuadrado definen las tres diagonales del sólido platónico.

    Por otro lado, teníamos que hallar la proyección vertical de la recta R. Esta recta forma 30º con el plano horizontal, para poder dibujarla, he aplicado un giro (color azul). También nos piden dibujar una recta S paralela a R por el centro del octaedro. Aunque en el enunciado no se pide la intersección de la recta con el sólido ni su visibilidad, he optado por hallar la intersección (color magenta) de la misma con el octaedro e indicar su visibilidad.

EJERCICIO 3: SISTEMA AXONOMÉTRICO

    A partir de las tres vistas de una pieza (planta, alzado y perfil) a escala 1:2, teníamos que dibujar la perspectiva isométrica (con coeficiente de reducción) a escala natural 1:1. Hemos hallado una escala intermedia que nos permite pasar de la escala de las vistas a la escala isométrica directamente (fórmula; 1:0´816/1:2). Las vistas están dadas en el sistema europeo o, lo que es lo mismo, el método de representación del primer diedro de proyección.

    Para hallar el valor de la medida real C, debemos aplicar o desaplicar la escala 1:2, es decir, al doble de lo que medimos en el dibujo.

EJERCICIO 4: NORMALIZACIÓN

    Dadas dos vistas de una pieza (planta y perfil) se pide: dibujar el corte AA por el plano de simetría en el alzado. Las vistas dibujadas están a escala 1:2 y en el sistema europeo o el método de representación del primer diedro de proyección.

    Para acotar la pieza, para su correcta definición dimensional, hay que poner las medidas reales, en este caso, por ser la escala 1:2, hay que indicar (numéricamente) el doble de lo que miden en las vistas.

    Y con este ejercicio acabamos de comentar todo el examen.

PAU Comunidad de Madrid. Mi solución examen ordinario coincidentes Dibujo Técnico 2025

     Voy a explicar una de mis soluciones para el examen de la convocatoria ordinaria de la PAU de Junio de la Comunidad de Madrid del año 2025, en este caso, comentaré el examen que se hizo para los alumnos que le coincidían ese examen con otra asignatura. Este examen se denomina coincidentes.

    Voy a dividirlo en los grupos de saberes básicos.

PREGUNTA 1: FUNDAMENTOS GEOMÉTRICOS.

Apartado 1.1

    En este apartado había que resolver un problema de tangencias donde se dan dos circunferencias dibujadas y había que hallar otras dos concéntricas, con radios de 32 y 40 mm, que fueran tangentes a cada una de ellas.

    Se ha resuelto por lugares geométricos, es decir, sumando el radio de 40 mm a la circunferencia exterior, y restando 32 mm a la circunferencia interior. Donde corten ambas distancias será el centro de ambas circunferencias solución.

    Marcamos los puntos de tangencia para concluir con el ejercicio.

Apartado 1.2

    Se dan los vértices  y los focos de una hipérbola y un punto exterior a ella. Se  pide dibujar las rectas tangentes a la curva desde el punto P dado. No se dibujara la hipérbola.

    Trazamos la circunferencia focal de uno de los focos (color verde). Con centro en P y radio hasta F ', dibujamos otra circunferencia (color verde). Ambas circunferencias cortarán en los puntos M y N (color verde). Las mediatrices de MF' y NF' (color azul), serán las rectas tangentes (color rojo) y los puntos de tangencia, las intersecciones con las rectas tangentes de las léneas que unen M y N con F (color magenta).

PREGUNTA 2: GEOMETRÍA PROYECTIVA. SISTEMA DIÉDRICO.

Apartado 2.1

    Nos piden hallar la distancia de un punto R a una recta s. 

    Para hallarlo hacemos pasar un plano por R que sea perpendicular a la recta, el plano alfa (color verde). En este caso el plano es un plano de canto. Hallamos la intersección de la recta con el plano, el punto I (color azul). 

    La distancia entre el punto R y el I será la distancia buscada (color magenta y rojo verdadera magnitud).

Apartado 2.2

    Nos dan una semiesfera y dos puntos A y B. Hay que hallar la intersección de la recta que pasa por A y B con la semiesfera. 

    La recta r es la que resulta de unir los puntos A y B. Esta recta es una recta de punta (color verde), lo que permite trazar un plano horizontal alfa, que la contenga. Hallamos la sección plana que produce el plano alfa (color azul) en la semiesfera (una circunferencia). Los puntos en común de la recta y la circunferencia sección son los puntos de entrada y de salida de la recta r.

    Hacemos patente su visibilidad con tramos continuos la parte vista y con discontinua la parte ocultas. Esta visibilidad sólo se ve en proyección horizontal.

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA PROYECTIVA. SISTEMA AXONOMÉTRICO Y PERSPECTIVA CÓNICA.

Apartado 3. 1

    A partir de las vistas diédricas de una pieza tenemos que realizar el dibujo isométrico (sin coeficiente de reducción) de la misma. Debemos de respetar la posición de la misma, debido a que nos vienen indicados los ejes axonométricos en las vistas.

Apartado 3.2

    Nos dan un prima (ortoedro, paralelepípedo...) en perspectiva cónica con las proporciones de 3x3x1, que corresponden a la anchura, profundidad y altura (como se puede deducir del dibujo).

    Sobre la cara superior del mismo, hay que colocar otro primas cuyas proporciones son 1x1x3. Este prisma debe ir centrado.

    En la solución propuesta por la Universidad Complutense, aparece una de las caras divididas por diagonales y otras subdivisiones que se pueden realizar en las caras de la perspectiva para hallar esas medidas iguales. Yo he optado por usar un punto de fuga cualquiera y llevar rectas paralelas que fugen a ese punto (color verde) y que dividan en tres partes iguales uno de los lados superiores. Es como hacer un teorema de Thales en perspectiva cónica.

    Como las bases son cuadrados concéntricos, sus diagonales coinciden (color magenta). Las diagonales de uno me definen las diagonales del otro, y con ello los vértices del prisma pequeño (color azul).

    Bastará con subir alturas (color naranja).

 

PREGUNTA 4: NORMALIZACIÓN Y DOCUMENTACIÓN GRÁFICA DE PROYECTOS.

Apartado 4.1

    Tenemos que representar las tres vistas principales (planta, alzado y perfil) de una pieza dada en dibujo isométrico. Debemos acotar las vistas para su correcta definición dimensional (color verde).

    Aunque esta pieza no necesita un corte, se ha hecho el corte en el alzado para ver los agujeros que sabemos que son pasantes. Cómo el corte es obvio por donde pasa (corte por planos paralelos) no se ha indicado en ninguna otra vista.

Apartado 4.2

    A partir de dos vistas de una pieza teníamos que hallar el corte AA en la vista que corresponde según el sistema europeo, para después acotarlas.

    Esta pieza destaca por su simetría y sus avellanados.

 

    Hasta aquí el examen de Junio de la PAU de la Comunidad de Madrid de Dibujo Técnico II de coincidentes del año 2025.

PAU Comunidad de Madrid. Mi solución examen ordinario Dibujo Técnico 2025

     Voy a comentar cómo hubiese resuelto el examen de Dibujo Técnico II de la PAU (Prueba de acceso a la Universidad) de la Comunidad de Madrid de la convocatoria de Junio u ordinaria del año 2025.

    En esta convocatoria se proponían cuatro ejercicios con dos opciones cada uno. El examinado debía de escoger una de estas opciones para completar su examen. El primer ejercicio era sobre fundamentos geométricos (geometría plana), los ejercicios 2 y 3 versaban sobre geometría proyectiva (los sistemas de representación), y por último, el ejercicio 4 trataba la parte de normalización  y documentación gráfica de proyectos. Voy a comentarlos.

PREGUNTA 1, FUNDAMENTOS GEOMÉTRICOS

1.1 En esta pregunta o ejercicio, se pedía dibujar la figura inversa de una circunferencia dada d. Los datos de la inversión venían dados por una circunferencia c que se transforma en una recta c'. 

    Partiendo de que la inversa de la circunferencia dibujada c de centro C, era la recta c', calcularemos los datos de la inversión para poder llegar a la solución. He optado por hallar el punto O que es el centro de inversión y dos puntos inversos H y H'. Con estos datos también se podría haber hallado la CPD (Circunferencia de Puntos Dobles).

    Con el inverso del punto de tangencia T, el punto T', y trazando paralela al radio que nos define el otro punto de la circunferencia que pasa por el rayo de inversión de T, hemos podido hallar el centro y el radio de la circunferencia inversa en color rojo .

1.2 En esta pregunta tenemos que resolver un ejercicio de tangencias. Nos preguntan por la circunferencia que es tangente a otras tres circunferencias.

    Como dos de las circunferencias son concéntricas, pasaremos de una ejercicio de tangencias basado en los casos de Apolonio a un ejercicio de lugares geométricos. Al ser estas concéntricas nos definen el diámetro de las soluciones que será la distancia 12. El centro de la circunferencia estará en la distancia que resulta o bien de sumar el radio de la circunferencia solución a c1 o bien de restar el mismo radio a la c2. Como la circunferencia solución queda exterior a la c3, bastará con hallar la distancia al centro que resulta de sumarle el radio de la circunferencia solución. Dónde corte ambas distancias, fruto o bien de la suma o bien de la suma y la resta, estará el centro de la circunferencia solución.

    Hallamos los puntos de tangencia y procedemos a dibujar la circunferencia. 

PREGUNTA 2, GEOMETRÍA PROYECTIVA

2.1 Vienen dibujadas, en el sistema Diédrico, dos rectas que se cruzan. Nos piden hallar el ángulo que forman ambas rectas. Para poder hallarlo he trazado por un punto de la recta f una recta paralela a h, la recta r. Las dos rectas r y f me forman un plano, se abate y en el abatimiento de la rectas r y f podemos apreciar en verdadera magnitud el ángulo buscado.

2.2 Nos piden dibujar un octaedro partiendo de su sección cuadrada principal o también denominada meridiana. Esta sección está sobre un plano proyectante horizontal.

    He hallado el cuadrado en protección y el semicuadrado en verdadera magnitud. Este semicuadrado nos permite hallar la diagonal principal del sólido. A través de las diagonales del cuadrado sección hallamos el centro geométrico del poliedro, el punto O. Dibujamos la perpendicular al plano que define la sección por el centro O. Y colocamos la semidiagonal a cada lado respecto de O, al estar sobre una recta horizontal, podemos poner la medida directamente.

PREGUNTA 3, GEOMETRÍA PROYECTIVA

3.1 En este ejercicio hay que resolver la perspectiva Caballera de una pieza dada por sus vistas: planta y alzado.

    Para definir la posición de la pieza nos indican en las vistas dónde están colocados los ejes axonométricos de la perspectiva. En este caso el eje y no tiene coeficiente de reducción por ser 1:1. Nos piden que indiquemos las líneas ocultas. 

3.2 Por un lado nos dan dibujados los elementos de un perspectiva Cónica y por otro lado, en el sistema diédrico, nos dan una pieza (que tiene el aspecto de una casa) y los elementos de la misma perspectiva cónica.

    Con los datos gráficos del sistema Diédrico tenemos que hallar la perspectiva de la casita. He escogido el método de puntos de fuga y trazas. He colocado en la línea de horizonte los puntos de fuga hallados en la proyección horizontal, D y D, y en la línea de tierra los puntos de las trazas del plano del cuadro, los puntos A, B y E. Estos últimos puntos se unen con sus puntos de fuga. Para poder colocar la planta en el plano geometral, también se podía haber usado el sistema directo, reproduciendo la planta para usar la homología...

    Una vez hallado la planta, he fugado las alturas.

PREGUNTA 4, NORMALIZACIÓN Y DOCUMENTACIÓN GRÁFICA DE PROYECTOS

4.1 A partir de un dibujo isométrico (recordamos que esto quiere decir que no tenemos que tener en cuenta el coeficiente de reducción) tenemos que hallar la vistas necesarias para definir la pieza.

    He dibujado la planta por tener una semicircunferencia, una cara tangente y otra perpendicular. Se ha optado por ese alzado, porque define bien los volúmenes principales de la misma. Y el perfil derecho por la arista inclinada.

4.2 Tenemos un objeto que cuenta con un plano de simetría, por ello nos parece el semi-alzado con un corte al cuarto. También contamos con el dibujo de la planta. Se pide: dibujar la parte izquierda del alzado sin cortar y definirla dimensionalmente aplicado las normas de acotación. 

    Hemos realizado la parte izquierda sin corte y sin líneas ocultas (la norma dice que cuando se corta una pieza, no se pondrán líneas ocultas). Hemos acotado por simetría, las circunferencias y las alturas exteriores como las interiores.

    Esto es todo el examen, en breve publicaré la convocatoria de Junio coincidentes.